Érase una vez un área


¿Cómo calcular el área de una región con un borde curvo? ¿Por qué habría de importarnos resolver ese problema? Suspendamos por unos minutos la segunda pregunta y aceptemos que sí, que deseamos conocer cuánto mide una cierta región del plano que no es un polígono de ninguna clase.

Tal vez el primer ejemplo que nos venga a la mente es el de un círculo, un disco reluciente. Imaginémoslo de un metro de radio, entonces su área es de pi metros cuadrados. Pero esto es prácticamente la definición de pi, no hemos hecho aquí ningún gran avance. Volveremos sobre esta afirmación unas pocas líneas más abajo.

Pensemos entonces en otra región, un segmento de parábola. ¿Cómo determinar su área? Recordemos que calcular el área de una figura es determinar cuántos cuadrados de lado unidad caben en ella. Con esta idea básica en mente es fácil determinar el área de cualquier rectángulo cuyos lados tengan longitudes iguales a números enteros: el resultado es el producto de la base por la altura. Subdividiendo la unidad esta fórmula se extiende a rectángulos de lados racionales, y por aproximación a rectángulos cualesquiera. Componiendo y descomponiendo figuras en términos de otras de área conocida, puede calcularse el área de cualquier polígono.

Cuando el borde de la figura es curvo, no es posible reducirla a un número finito de polígonos. Unos 250 años antes del nacimiento de Cristo, Arquímedes se las ingenió para resolver este problema descomponiendo un segmento de parábola en un número infinito de triángulos, para calcular su área a través del cálculo de la suma infinita 1/4+1/16+1/64+1/256 + … en la que cada sumando es 4 veces más pequeño que el anterior. El resultado de esa suma es 1/3.

Volviendo al círculo, el mismo Arquímedes aproximó su área por encima y por debajo inscribiendo y circunscribiendo polígonos, para concluir que pi no podía diferir demasiado de 22/7. Avanzando tanto como se desee en este procedimiento, escogiendo cada vez polígonos con más lados, es posible aproximar el valor de pi con la precisión que se desee. Es un procedimiento seguro para determinar cifras de pi, lento pero seguro.

Estos logros históricos en la evaluación del área de algunas figuras particulares no deben distraernos del hecho de que en la época de Arquímedes la humanidad todavía estaba lejos de contestar con generalidad la primera de las preguntas que nos habíamos planteado.

Recién en el siglo XVII se hicieron avances significativos hacia una respuesta, con el nacimiento del cálculo diferencial e integral. Los nombres de Fermat, Newton y Leibniz están indisolublemente ligados a esta monumental aventura del pensamiento humano: ellos desarrollaron técnicas generales para calcular el área de una clase muy amplia de figuras que pueden tener bordes curvos. Unos de los resultados más sorprendentes de esta teoría es que determinar el área de una región del plano está íntimamente relacionado con el problema de encontrar la recta tangente a una curva en cada uno de sus puntos. Son dos caras del mismo problema: el primero es el cálculo de integrales; el segundo es el cálculo de derivadas. Sorprendente como pueda parece que dos problemas aparentemente tan diferentes estén íntimamente relacionados, este maridaje entre ambos es la base de uno de los métodos más difundidos para el cálculo de áreas de figura planas.

La difusión de las computadoras ha hecho que otros dos métodos, basados en determinar aproximaciones tan buenas como se desee, tengan mucho espacio en la ciencia y el cálculo contemporáneo.

  • Aproximaciones numéricas: podemos dividir una región irregular en un número muy alto de regiones pequeñas que la aproximen bien. Si la división es suficientemente fina, la aproximación será buena. El problema es que si la división es fina, habrá muchas regiones y muchos cálculos para hacer. Esta tarea tan laboriosa la dejamos en manos de una computadora.
  • Métodos de Montecarlo: coloquemos nuestra región con bordes curvos en medio de un gran cuadrado que la contenga. El área del cuadrado es fácil de calcular, de modo que si determinamos qué proporción del área del cuadrado ocupa nuestra figura, ya sabemos cuánto mide. Tiremos ahora una gran cantidad de puntos al azar sobre el cuadrado: algunos caerán dentro de la figura, otros fuera. Si el sorteo de puntos se distribuyen de manera uniforme sobre el cuadrado, la proporción de puntos que cae dentro de la figura dará una idea de su tamaño. Cuantos más puntos, más precisa será nuestra estimación.

En fin, el viejo y querido problema de calcular áreas, ha dado que pensar y hacer a lo largo de la historia. Ahora, ¿por qué habría de interesarnos? Hay una primera respuesta obvia, y es que el área de una figura es una medida de su tamaño, y el tamaño de las cosas sí importa, aunque hay quienes quieran hacerse los distraídos y decir que no. La segunda, es que muchos problemas se traducen en números que a su vez generan gráficas que son figuras: comprender la geometría de estas figuras es esencialmente equivalente a comprender el problema original y la determinación de las áreas es un problema eminentemente geométrico. Tan geométrico que está implícito en la etimología de la palabra. Hemos caído sobre uno de los principales ingredientes del interés que tienen los modelos y representaciones de todo tipo: nos permiten operar sobre la realidad comprendiendo sus imágenes, sin los costos y molestias que suele significar actuar sobre la cosa en sí. En el ámbito del proyecto esto es aún más importante, porque la cosa en sí todavía no existe. En el mejor de los casos, sera la materialización aproximada de una de las ideas que pujan por salir a la luz en el transcurso del proceso.

Esta capacidad de crear y manejar imágenes sofisticadas y desarrollar sobre ellas procedimientos complejos -como determinar con el grado de precisión deseado el área de una región irregular de la imagen- está en la base de nuestra ciencia, tecnología y cultura contemporánea. Basta examinar lo qué podían construir los contemporáneos de Arquímedes, los de Pascal, Newton y Leibniz, y lo que puede construir nuestra civilización. Con el desarrollo del cálculo, estos últimos abrieron la puerta a una comprensión del mundo que traería luego las revoluciones industriales y el desarrollo de nuevos métodos de construcción. La revolución digital de nuestro tiempo también rinde tributo al trabajo de estos pioneros: sencillamente no existiría sin el cálculo que ellos crearon para todos nosotros y del que el cálculo de integrales, nuestra habilidad para calcular áreas encerradas bajo gráficos cualesquiera, es un ingrediente fundamental.

Omar Gil

Columnista invitado

Doctor en Matemática por la Universidad Autónoma de Madrid y Profesor Titular de la Cátedra de Matemática de la Facultad de Arquitectura.

01. Exhaución de la parábola. Foto: http://bit.ly/1EuB9J9

02. Métodos numéricos de integración. Foto: http://bit.ly/1NpFL7t

03. Método de Montecarlo. Foto: http://bit.ly/1FjXyHM